Derivación Transformaciones de Lorentz

  

Figura 0.12: En t=0 O y O' coinciden. En ese instante desde el origen común se emite un flash de luz. En un instante posterior la luz ha llegado a A, a distancias ct de O y ct' de O'.

Se busca una una transformación de los sistemas de referencia S y S'ce coordenadas espaciales y temporales respectivas:(x,y,z,t) y (x',y',z',t') que sea compatible con el postulado de la constancia de la velocidad de la luz en ambos sistemas de referencia inerciales. El origen O' coincide con el origen Oen el tiempo t=0y lleva una velocidad ${\bf v}$ en la dirección del eje x. En el instante t la luz ha llegado al punto A tal como se ilustra en la figura (0.4), se cumple que el cuadrado de la distancia al origen de cada sistema satisface:

 

x²+y²+z²=c²t², (36)

 

x'²+y'²+z'²=c²t'². (37)

La transformación debe ser lineal en las coordenadas y el tiempo para que la onda esférica se expanda uniformemente a medida que transcurre el tiempo y para que a un evento en el sistema S le corresponda un único evento en el sistema S'. Supongamos que x' =a x² entonces una distancia x₁'-x₂'= a(x₁²-x₂²) y si x₁=3 y x₂=2, x₁-x₂=1 y x'₁-x₂'=5a, ahora si x₁=5 y x₂=4, x₁-x₂=1 pero x'₁-x'₂=9a, es decir la longitud de una barra de 1 unidad en el sistema primado tendrá diferentes valores de magnitud dependiendo del lugar en donde esté situada en el otro sistema de referencia. Al go semejante ocurriría si el tiempo no fuera homogéneo. Las relaciones tienen que se lineales para que se pueden escoger a voluntad los orígenes de los sistemas de referencia espacio-temporales.,

La forma más general para la transformación lineal es:

x'=A₁₁x+A₁₂y+A₁₃z +A₁₄t

y'=A₂₁x+A₂₂y+A₂₃z +A₂₄t

z'=A₃₁x+A₃₂y+A₃₃z +A₃₄t

t'=A₄₁x+A₄₂y+A₄₃z +A₄₄t

Para no descubirir el agua tibia, podemos mirar de nuevo las ecuaciones (0.20), (0.21), (0.22) y (0.23) y ensayar transformaciones lineales de la forma:

x'=k(x-vt),

t'=a(t-bx),

y'=y,

z'=z.

En donde a, b, k son constantes que se tienen que hallar, utilizando las ecuaciones de los intervalos al cuadrado (0.36), (0.37). Es decir:

$$k^2(x^2+v^2t^2-2\,x\,v\,t)+y^2+z^2-c^2a^2t^2-c^2a^2b^2x^2+2c^2\,a\,b\,t\,x=x^2+y^2+z^2-c^2t^2,$$

lo que implica:

k²-a²b²c²=1,

$$-2v\,k^2+2\,a^2\,b\,c^2=0,$$

k²v²-c²a²=-c².

Resolviendo estas ecuaciones para k, a y b (con Maple por ejemplo), tenemos:

$$a=k={1\over \sqrt{1-v^2/c^2}},$$

y:

$$b={v\over c^2}.$$

De esta manera obtemos las transformaciones de Lorentz:

$$x'={{x-vt}\over {\sqrt {1-v^2/c^2}}},$$ (38)

 

y'=y, (39)

 

z'=z, (40)

$$t'={{t-vx/c^2}\over{\sqrt{1-v^2/c^2}}}.$$ (41)

Las transformaciones inversas se obtienen cambiando las variables primadas por las no primadas y v por -v:

$$x={{x'+vt'}\over {\sqrt {1-v^2/c^2}}},$$ (42)

$$t={{t'+vx'/c^2}\over{\sqrt{1-v^2/c^2}}}.$$ (43)

y=y', (44)

z=z'. (45)