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Solitones de Sine-Gordon

Autor de la pagina Web:
Guillermo Avendaño Franco

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De la teoría del campo la ecuación de ondas para mesones es:

$$\nabla^{2}u(x,t)-\frac{\partial^2 u(x,t)}{\partial t^2}=m^2 u(x,t)+g^2 u^3(x,t),$$

basta entonces una mirada a la ecuación para darnos cuenta que el segundo miembro es la suma de los dos primeros términos de la serie seno

$${\rm sen}(x)=\sum^{\infty}_{n=0}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$$

tomando$m=1$ y $g=\sqrt{-1/6}$, en el caso bidimensional la ecuación toma la forma siguiente

$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}-\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}={\rm sen}(u).$$

La no-linealidad de la ecuación de Sine-Gordon (1) dificulta su solución analítica Para comenzar nuestra búsqueda de una solución numérica comencemos por delimitar nuestro espacio de trabajo así:

$$-x_0<x<x_0 \ \ -y_0<y<y_0 \ \ t\geq 0,$$

se ha decidido tomar $x_0=y_0=7$, adicionalmente se impone la condición que la derivada del desplazamiento se anule en los bordes de la región en consideración.

$$\frac{\partial u}{\partial x}(-x_0,y ,t)=\frac{\partial u}{\partial x}(x_0,y ,t)=0$$

 

$$\frac{\partial u}{\partial y}(x,-y_0 ,t)=\frac{\partial u}{\partial y}(x,y_0,t)=0.$$

Como condiciones iniciales para $u$y su derivada en un tiempo $t=0$así:

$$u(x,y,t=0)=4 \tan^{-1}(e^{3-\sqrt{x^{2}+y^{2}}})$$

 

$$\frac{\partial u}{\partial x}(x,y ,t=0)=0.$$

En el proceso de computo se emplea una adecuada discretización del espacio y del tiempo, creando así una especie de malla sobre la cual se realizaran los cálculos

Continuo	$\Rightarrow$	Discreto
$(x,y,t)$	$\rightarrow$	$(m,l,n)$

 

$$x = m\, \Delta x,\ \ y = l\, \Delta y,\ \ t = n\, \Delta t,$$

con $\Delta x=\Delta y$
El tiempo es expresado como un superíndice tenemos:

$$u^{n}_{m,l}\equiv u(m\ \Delta x,l\ \Delta x,n\ \Delta t,).$$

tras realizar las expansiones usuales para las segundas derivadas obtenemos

$$u_{m,l}^{n+1}\simeq - u^{n-1}_{m,l}+2\left[1-2\left( \frac{\Delta t}{\Delta x}\right)^{2}\right]\ u^{n}_{m,l}$$

$$+ \left( \frac{\Delta t}{\Delta x}\right)^{2}(u^{n}_{m+1,l}+u^{n}_{m-1,l}+u^{n}_{m,l+1}+u^{n}_{m,l-1})$$

$$- \Delta t^{2} {\rm sen}\left[\frac{1}{4}(u^{n}_{m+1,l}+u^{n}_{m-1,l}+u^{n}_{m,l+1}+u^{n}_{m,l-1})\right],$$

y para garantizar estabilidad debemos acordar una adecuada proporcionalidad entre $\Delta x$y $\Delta t$:

$$\Delta x = \sqrt{2}\ \Delta t$$

Para aprender más acerca de la ecuación Sine-Gordon lea: Landau R.H. and Paez M.J., (1997) Computational Physics, John Wiley and Sons, New York.

Con todo esto podemos ya implementar nuestro algoritmo, para efectos de la creación de las imágenes y su posterior animación se requirió del uso de varios programas tales como ppmtogif y gifmerge y el resultado es este:

GIFmerge puede ser descargado desde:
http://www.uni-jena.de/~nmh/gcms/dok/gifmerge/docu/

Esta animación muestra los primeros instantes del movimiento del soliton